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Eine Von-Neumann-Algebra oder W*-Algebra ist eine mathematische Struktur in der Funktionalanalysis. Historisch beginnt die Theorie der Von-Neumann-Algebren mit den grundlegenden von 1936 bis 1943 erschienenen Arbeiten von Francis J. Murray und John von Neumann On rings of operators.cite-ref-1[1]cite-ref-2[2]cite-ref-3[3] Der Name Von-Neumann-Algebra für derartige Algebren geht auf einen Vorschlag von Jean Dieudonné zurück.cite-ref-4[4]

• Definition

• Faktoren

• Kommutative Von-Neumann-Algebren

• Eigenschaften

• Siehe auch

• Literatur

• Einzelnachweise

Eine Von-Neumann-Algebra A {\displaystyle A} (benannt nach John von Neumann) oder (mittlerweile veraltet) ein Ring von Operatoren ist eine *-Unteralgebra mit Eins der Algebra L ( H ) {\displaystyle L\left(H\right)} der beschränkten linearen Operatoren eines Hilbertraums H {\displaystyle H} , die eine (und damit alle) der drei folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• A = A ″ {\displaystyle A=A''} .

• A {\displaystyle A} ist abgeschlossen in der starken Operatortopologie.

• A {\displaystyle A} ist abgeschlossen in der schwachen Operatortopologie.

Hierbei ist A ′ := { x ∈ ∈ L ( H ) | ∀ ∀ a ∈ ∈ A : x a = a x } {\displaystyle A':={\bigl \{}x\in L(H)\,|\,\forall a\in A:\,xa=ax{\bigr \}}} die Kommutante von A {\displaystyle A} und entsprechend A ″ {\displaystyle A''} die Kommutante von A ′ {\displaystyle A'} .

Die Äquivalenz der drei obigen Aussagen nennt man den von Neumannschen Doppelkommutantensatz oder Bikommutantensatz. Diese Aussage kann wie folgt verschärft werden:

• Ist A ⊂ ⊂ L ( H ) {\displaystyle A\subset L(H)} eine *-Unteralgebra mit Eins, so ist A ″ {\displaystyle A''} der Abschluss von A {\displaystyle A} sowohl in der schwachen als auch in der starken Operatortopologie.

Auch diese Formulierung, die eine Äquivalenz zwischen der rein algebraischen Kommutanten-Bildung und der rein topologischen Dichte-Beziehung bzw. Abschluss-Bildung herstellt, wird als Bikommutantensatz bezeichnet. Damit erweist sich der Bikommutantensatz als ein Dichtheitssatz. Zusammen mit dem weiteren Dichtheitssatz von Kaplansky stellt er den Ausgangspunkt der Theorie der Von-Neumann-Algebren dar.

Eine Von-Neumann-Algebra kann nach einem Satz von Shōichirō Sakai auch abstrakt ohne einen zugrundeliegenden Hilbertraum definiert werden:

• Eine Von-Neumann-Algebra A {\displaystyle A} ist eine C*-Algebra, die der topologische Dualraum eines Banachraums A ⋆ ⋆ {\displaystyle A_{\star }} ist.

Die Von-Neumann-Algebra A {\displaystyle A} heißt Faktor, falls sie eine der beiden folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• A ∩ ∩ A ′ = C ⋅ ⋅ 1 H {\displaystyle A\cap A'=\mathbb {C} \cdot 1_{H}} .

• A ∪ ∪ A ′ {\displaystyle A\cup A'} erzeugt L ( H ) {\displaystyle L\left(H\right)} .

Da A ∩ ∩ A ′ {\displaystyle A\cap A'} die Menge der Operatoren aus A {\displaystyle A} ist, die mit allen Operatoren aus A {\displaystyle A} kommutieren, ist A ∩ ∩ A ′ {\displaystyle A\cap A'} das Zentrum von A {\displaystyle A} . Faktoren sind daher die Von-Neumann-Algebren mit kleinst möglichem Zentrum. Man kann Von-Neumann-Algebren als direktes Integral (eine Verallgemeinerung der direkten Summe) von Faktoren darstellen, das heißt, Von-Neumann-Algebren sind in diesem Sinne aus Faktoren zusammengesetzt.

L ( H ) {\displaystyle L\left(H\right)} und C ⋅ ⋅ 1 H {\displaystyle \mathbb {C} \cdot 1_{H}} sind Beispiele für Faktoren. Mit A {\displaystyle A} ist auch A ′ {\displaystyle A'} ein Faktor; offenbar gilt L ( H ) ′ = C ⋅ ⋅ 1 H {\displaystyle L\left(H\right)'=\mathbb {C} \cdot 1_{H}} und ( C ⋅ ⋅ 1 H ) ′ = L ( H ) {\displaystyle (\mathbb {C} \cdot 1_{H})'=L\left(H\right)} .

Bei den Faktoren können 3 Typen, die Typ I, Typ II und Typ III heißen, unterschieden werden.

→

Hauptartikel

:

Abelsche Von-Neumann-Algebra

Sei ( X , X , μ μ ) {\displaystyle (X,{\mathfrak {X}},\mu )} ein σ σ {\displaystyle \sigma } -endlicher Maßraum. Dann ist H = {\displaystyle H=} L2 ( X , X , μ μ ) {\displaystyle (X,{\mathfrak {X}},\mu )} ein Hilbertraum, und jede wesentlich beschränkte Funktion f ∈ ∈ L ∞ ∞ ( X , X , μ μ ) {\displaystyle f\in L^{\infty }(X,{\mathfrak {X}},\mu )} definiert via Multiplikation einen Operator M f ∈ ∈ L ( H ) , M f ( g ) := f ⋅ ⋅ g {\displaystyle M_{f}\in L(H),M_{f}(g):=f\cdot g} . Die Menge aller M f {\displaystyle M_{f}} ist eine kommutative Von-Neumann-Algebra M ⊂ ⊂ L ( H ) {\displaystyle {\mathcal {M}}\subset L(H)} , und die Abbildung f ↦ ↦ M f {\displaystyle f\mapsto M_{f}} ist ein *-Isomorphismus L ∞ ∞ ( X , X , μ μ ) → → M {\displaystyle L^{\infty }(X,{\mathfrak {X}},\mu )\to {\mathcal {M}}} . Man kann M ′ = M {\displaystyle {\mathcal {M}}'={\mathcal {M}}} zeigen, das heißt, die Algebra M {\displaystyle {\mathcal {M}}} stimmt mit ihrem Kommutanten überein. Keine echte Oberalgebra kann daher kommutativ sein, M {\displaystyle {\mathcal {M}}} ist also eine maximale kommutative Von-Neumann-Algebra.

Betrachtet man speziell den Maßraum ( [ 0 , 1 ] , B , λ λ ) {\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}},\lambda )} (Einheitsintervall mit dem Lebesgue-Maß), so kann man zeigen, dass der Bikommutant von { M f ; f ∈ ∈ C ( [ 0 , 1 ] ) } {\displaystyle \{M_{f};\,f\in C([0,1])\}} mit M ≅ ≅ L ∞ ∞ ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle {\mathcal {M}}\cong L^{\infty }([0,1])} zusammenfällt. Der Übergang vom topologischen Konstrukt C ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle C([0,1])} zum maßtheoretischen Konstrukt L ∞ ∞ ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle L^{\infty }([0,1])} entspricht dem Übergang von C*-Algebren zu Von-Neumann-Algebren. Während man bei C*-Algebren wegen des Satzes von Gelfand-Neumark von nicht-kommutativer Topologie spricht, gibt die hier angestellte Betrachtung Anlass, eine Von-Neumann-Algebra als einen nicht-kommutativen Maßraum anzusehen, man spricht daher auch von nicht-kommutativer Maßtheorie.

Jede Von-Neumann-Algebra ist eine C*-Algebra und somit auch eine Banachalgebra.

Wie sich aus dem beschränkten Borel-Funktionalkalkül ergibt, enthalten Von-Neumann-Algebren sehr viele Orthogonalprojektionen; jeder Operator ist in der Normtopologie Limes von Linearkombinationen von Orthogonalprojektionen. Dies ist ein wesentlicher Unterschied zu den C*-Algebren, die, wie das Beispiel C([0,1) zeigt, neben 0 und 1 keine weiteren Projektionen enthalten müssen. Man kann aus der Menge der Projektionen einen Verband konstruieren; die Struktur dieses Verbandes wird zur Typklassifikation der Von-Neumann-Algebren herangezogen.

• Typ I Von-Neumann-Algebra

• Typ II Von-Neumann-Algebra

• Typ III Von-Neumann-Algebra

• Tomita-Takesaki-Theorie

• Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7.

• R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Band I und II, Academic Press 1983, ISBN 0-123-93301-3 bzw. 1986, ISBN 0-123-93302-1

• Shôichirô Sakai: C*-Algebras and W*-Algebras. Springer, Berlin u. a. 1971 (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band. 60) ISBN 3-540-05347-6 (Nachdruck. ebenda 1998, ISBN 3-540-63633-1).

• Jacob T. Schwartz: W*-Algebras. Gordon & Breach, New York NY u. a. 1967.

cite-note-11. ↑ F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators. Ann. of Math. (2), Band 37, 1936, Seiten 116–229.

cite-note-22. ↑ F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators II. Trans. Amer. Math. Soc., Band 41, 1937, Seiten 208–248

cite-note-33. ↑ F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators IV. Ann. of Math. (2), Band 44, 1943, Seiten 716–808.

cite-note-44. ↑ Newsletter of the EMS, Juni 2009, Interview mit Jacques Dixmier, Seite 36